5. 9

Sin x y’+ cos x y = cos 2x

sinx Y                   = 2sin(x)cos(x) /2 + C

Y                            =cosx + C/ sin x

 

10

Xy’+ y  =2x

(yx)’     = 2x

Yx          = x^2 +c

Y            = x + c/x

11

(xy’-y)/x^2        = e^-x

(Y/x)’                   =e^-x

y/x                        =-1/(x(e^x))+ C

Y                            = -1/e^x + xC

 

12

Y’=0.1y-150

a)     Y(0) = 2000

Y’= 200-150=50 (dyr per år)

b)     Y’-0.1Y=-150

Y=15+C e^0.1x

2000=1500+C

Y= 1500 + 500e0.1x

Y(10)=1500+500e=2859 (dyr)

c)      1000=1500 + C

C=-500

Dyr vil dø ut...

 

19

Lim(x-> 10^100) Y(x)=20

T(0)=80

T’(0)=3

T’=k(20-T)

a)     k=3/(20-80)=-0.05

T’=k(20-T)

T’+kT=k20

T(x)=20+Ce^(-x/20)

60=20+C

T(x)=20+60e^(-x/20)

b)     30=t(x)

x=-20Ln(1/6)= 35.8

om 35 min og 10 sec er temperaturen 30grader

c)      Lim(x->10^100)T(x) = 20

Temperaturen vil nærme seg 20 grader cercius.

 

21

D(0)=2500

D’(0)=200

D’=kD

K=0.2

a)     D’(anntall dyr per år)=0.2(proporsjonalitetskonstanten)D-200(anntall dyr som blir drept per år)

b)     D’-0.2D=-200

D=1000+ Ce^0,2x

2500=1000+c

C=1500

D(x)=1000+1500e^0,2x

c)      4500=1000+e^0.2x

x= ln(3500/1500)/0.2

x=4,23 (år)

Om 4 år og 3 måneder har bestanden plassert 4500 dyr.

d)     D’-0.2*4500=-200

D’=700 (dyr per år)

e)     C=-500

Dyrestammen vil dø ut om 3 år og 5 måneder.

 

57

a)     Y’=1/x

Y=Ln|x| + C

b)     4=ln|e|+C

Y=Ln|x|+ 3

c)      Y’(x)=1/X

Y’(e)= 1/e

4=e/e + b

B=e

T(x)=x/e+3

 

58

a)     Y’=0.12e-0,04x

Y=-3e-0,04x + C

b)     100=-3+ C

C=103

Y(x)=-3e-0,04x + 103

c)      Y’=0.12

 

59

Y’=3sinx-4cosx

a)     Y=-(3cosx+4sinx) + C

b)     5=-(3*0 + 4*1) + C

C= 9

Y(x) =-(3cosx+4sinx) + 9

c)      Y’=3sinx-4cosx

Y’(п/2)=3*1-4*0=3

5=3(п/2)+b       b=(п/2)

T(x)=3x+(п/2)

d)     Y=5sin(x+3.785)+ 9

 

60

a)     (ye-x)’=y(e-x)’+y’ e-x= y’e-x-ye-x

b)     (ye-x)’= e-x

ye-x= -e-x  + C

Y=-1 + Cex

c)      2=-1+ C                              C=3

d)     Y=3ex-1

 

61

a)     (ye-xsinx)’=y’e-xsinx+y(e-x)’sinx+y e-x (Sinx)’=y e-xsinx-y e-xsinx+y e-x cosx=y’e-xsinx +y e-x(cosx-sinx)

b)     y’e-xsinx +y e-x(cosx-sinx)           = sin2x

(ye-xsinx)’                                         =sin 2x

ye-xsinx                                                              =-(cos2x)/2+C

Y=(ex/2sinx)(2C-cos2x) eller      Y=-ex/2sinx+exsinx  + Cex/sinx

c)      eп/2           =(eп/2/2sin(П/2) )(2C-cos(п) )

eп/2           = eп/2(2c+1)/2

2=2C+1                C=1/2

 

63

L*I’+R*I=U

I’+(R/L)I=U/L

I(X)=U/R+Ce-RX/L

 

65

a)      Y’=0,04y-2000

Y’=antall dyr per år

0,04 er antall dyr per år i området(vekstfaktor) [vesken er proporsjonal med antall dyr]

20 000 må vi trekke fra, siden det er antall som blir skutt årlig.

b)      Y’-0,04y=-2000

Y=50 000+Ce0,04x

20 000= 50 000 +C           C=-30 000

Y=50000-30 000e0,04x

Om 12 år og 9 måneder vil det bli tomt for egler dersom man holder denne holdningen så intenst.

c)      Y=20 000+ e0,04x

Den vil holde et nesten konstant antall dyr, den vil holde seg over lang tid med 20 000 dyr

 

68

Y(0)=10 000

 Y’(0)=0.03

Y’=0.03Y -200

 

a) Y’(0)(antall dyr per år)=0.03(prosent i forhold med antallet)Y -200(minus de som blir drept)

b) Y’=0.03Y -200

y=6667+Ce^(0,03x)

C=10 000-6667= 3333

Y(x)=6667+3333e^0.03x