1        Notasjon
Implikasjon   Vi skriver A ⇒ B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig.

Ekvivalens Vi skriver A ⇔ B hvis to påstander A og B er ekvivalente. Det vil si at påstand A er riktig hvis, og bare hvis, påstand B er riktig. To likninger er ekvivalente hvis de har nøyaktig de samme løsningene.

Og ∧  Skrivemåten A ∧ B betyr påstand A og samtidig B.

Eller ∨  Skrivemåten A∨ B betyr påstand A eller B.

Intervaller : La a og b være reelle tall.

x er større enn a og mindre enn b skrives: x ∈⟨a,b⟩ x er større enn a og mindre enn, eller lik b skrives: x ∈⟨a,b] x er større enn eller lik a og mindre enn b skrives: x ∈ [a,b⟩ x er større enn eller lik a og mindre enn eller lik b skrives: x ∈ [a,b]

Union ∪  Skrivemåten A ∪ B betyr A union B, altså “A eller B”

Snitt ∩  Skrivemåten A ∩ B betyr A snitt B, altså “A og samtidig B”

Ikke Skrivemåten A betyr “ikke A”. Hvis A er en hendelse kalles A den komplementære hendelse til A.

Grenseverdi Symbolet lim f (x) betegner grenseverdien til funksjonen f når variabelen x nærmer seg a. I de tilfellene det er mulig å finne grenseverdien, er denne etx→a reelt tall.

2        Algebra
Andregradslikningen Likningen ax2 +bx +c = 0 har løsningene

Antall løsninger         Likningen ax2 +bx +c = 0 har to løsninger dersom b2 −4ac > 0 en løsning dersom b2 −4ac = 0 ingen reelle løsninger dersom b2 −4ac < 0

Nullpunkt Dersom andregradslikningen ax2+bx+c = 0 har har løsningene x = x1 og x = x2, er

                                                c                         b

x1x2 =        og x1 +x2 =−       a      a

x1 og x2 kalles nullpunktene til andregradsuttrykket ax2 +bx +c.

Faktorisering av andregradsuttrykk Dersom andregradsuttrykket ax2+bx+c har de to nullpunktene x = x1 og x = x2, er

ax2 +bx +c = a·(x −x1)·(x −x2)

Dersom andregradsuttrykket har ett nullpunkt x = x1, er

ax2 +bx +c = a·(x −x1)2

Dersom andregradsuttrykket ikke har nullpunkter, er det ikke mulig å faktorisere uttrykket i førstegradsfaktorer.

Polynom Andregradsuttrykket ax2 +bx +c er et polynom av andre grad. Et polynom av grad n er på formen

P(x) = anxn +an−1xn−1 +...+a1x +a0

der n er et positivt helt tall og a0,a1...an alle er reelle tall.

Polynomdivisjon Når vi dividerer et polynom P(x) med et polynom Q(x), får vi en rest med lavere grad enn Q(x). Hvis Q(x) er et førstegradsuttrykk, blir resten et tall.

Restenvedenpolynomdivisjon Når vi dividerer P(x) med (x−x0) blir resten P(x0). Divisjonen P(x) : (x −x0) går opp hvis og bare hvis P(x0) = 0.

Faktor i et polynom (x−x0) er en faktor i polynomet P(x) hvis og bare hvis P(x0) =

0.

Rasjonale uttrykk Et rasjonalt uttrykk er på formen QP((xx)), der P(x) og Q(x) er polynomer.

Forkorting av rasjonale uttrykk Vi kan forkorte xP−(xx)0 hvis og bare hvis P(x0) = 0.

3        Logaritmer
Den briggske logaritmen Den briggske logaritmen til a, lga, er det tallet vi må opphøye 10 i for å få a.

10lga = a

Den briggske logaritmen er voksende. For to positive tall a og b er

a >b ⇔ lga > lgb

Regneregler for briggske logaritmer
lgax = x ·lga

lg(a·b) = lga+lgb

³a´

lg        = lga−lgb b

Eulertallet e
e = lim(1+t)   t→0

Den naturlige logaritmen Den naturlige logaritmen til a, lna, er det tallet vi må opphøye e i for å få a. elna = a

Den naturlige logaritmen er voksende. For to positive tall a og b er

a >b ⇔ lna > lnb

Regneregler for den naturlige logaritmen
lnax = x ·lna ln(a·b) = lna+lnb

³a´

ln         = lna−lnb b

4        Sannsynlighetsregning
Sum av sannsynligheter

P(A∪B) =P(A)+P(B)−P(A∩B)

Komplementære hendelser
      

P(A) = 1−P(A)

Betinget sannsynlighet
P(A∩B)

P(B | A) = P(A)

Produktsetningen

P(A∩B) =P(A)·P(B | A) =P(B)·P(A |B)

Total sannsynlighet
         

P(B) =P(A)·P(B | A)+P(A)·P(B | A)

P(B) =P(A∩B)+P(A∩B)

Bayes’ setning
P(B)·P(A |B)

P(B | A) =

P(A)

Uavhengigehendinger To hendinger A og B er uavhengige hvis, og bare hvis, P(A | B) =P(A) eller P(B | A) =P(B)

Produktsetningen for uavhengige hendinger La A1, A2,..., An være n uavhengige hendinger. Da er

P(A1 ∩ A2 ∩...∩ An) =P(A1)·P(A2)·...·P(An)

Fakultet
n! =n·(n−1)·...·3·2·1

Binomialkoeffisient
0! = 1
Ãn!= n·(n−1)·...k!·(n−k +1) k
à ! n

1

0 =
Multiplikasjonsprinsippet   Vi skal gjøre k valg med n1 alternativer i det første valget, n2 valg i det andre, osv. Det er da i alt n1 ·n2 ·...·nk mulige kombinasjoner. Hvis det er n kombinasjoner i hvert valg, er tallet på kombinasjoner nk.

Ordnet utvalg I et ordnet utvalg tar vi hensyn til den rekkefølgen gjenstandene blir trukket ut i.

Ordnet utvalg med tilbakelegging Vi har n gjenstander og trekker en gjenstand med tilbakelegging. Hvis vi trekker k ganger, fins det i alt nk forskjellige kombinasjoner når vi tar hensyn til rekkefølgen vi trekker i.

Ordnet utvalg uten tilbakelegging Vi har n gjenstander og trekker en gjenstand uten tilbakelegging. Hvis vi trekker k ganger, fins det i alt

n·(n−1)·...·(n−k +1)

forskjellige kombinasjoner når vi tar hensyn til rekkefølgen vi trekker i.

Uordnet utvalg I et uordnet utvalg tar vi ikke hensyn til den rekkefølgen gjenstandene blir trukket ut i.

Uordnetutvalgutentilbakelegging Vi har n gjenstander og skal velge ut k av dem. Det kan vi gjøre på ¡nk¢ forskjellige måter når rekkefølgen vi velger i, ikke har betydning.

Hypergeometrisk forsøk I et hypergeometrisk forsøk har vi n gjenstander av to eller flere typer. Anta at det er n1 gjenstander av type 1 og n2 gjenstander av type 2. Vi trekker tilfeldig k gjenstander uten tilbakelegging. Sannsynligheten for å få k1 gjenstander av type 1 og k2 gjenstander av type 2 er da

¡n1¢ ¡n2¢ k1 · k2

¡n¢ k

For flere enn to typer gjenstander gjelder formlen

¡nk11¢·¡nk22¢·...·¡nkii¢

¡n¢ k

der i er antall ulike typer gjenstander det trekkes blant.

Binomisk forsøk I et binomisk forsøk gjør vi n uavhengige delforsøk og teller hvor mange ganger vi får en hending A. I hvert delforsøk er sannsynligheten for hendingen A lik p. La X være antallet ganger A inntreffer. Sannsynligheten for at A skal inntreffe nøyaktig k ganger, er

à !

P(X =k) = n · k · − n−k p (1 p)

k

5        Geometri
Pythagoras’ setning  La a, b og c være sidekanter i en trekant der c er den lengste siden.

Trekanten er rettvinklet ⇔ a2 +b2 =c2

Sentralvinkel og periferivinkel En vinkel som har toppunkt på en sirkelperiferi kalles periferivinkel. En vinkel som har toppunkt i sentrum av en sirkel, kalles sentralvinkel. La u være en sentralvinkel og v en periferivinkel som spenner over den samme sirkelbuen. Da er

u = 2v

To periferivinkler som spenner over den samme buen, er like store. En periferivinkel som spenner over diameteren, er 90◦.

Cosinussetningen      La a, b og c være sidekantene i en trekant der vinkel v er vinkelen mellom sidene b og c. Da er

a2 =b2 +c2 −2bc cosv

u
v
Sinussetningen La a, b og c være sidekantene i en trekant der A er motstående vinkel til a, B er motstående vinkel til b og C er motstående vinkel til c. Da er

                      sin A   sinB    sinC               a         b         c

                         a   =   b   =   c             sin A = sinB = sinC

Arealsetningen La v være vinkelen mellom to sider a og b i en trekant. Arealet av trekanten er da gitt ved

A =   absinv

Kongruenssetningene           To trekanter er kongruente hvis ett av disse kravene er oppfylt:

1.    To vinkler er parvis like store, og en side i den ene trekanten er like lang som den samsvarende siden i den andre.

2.    To av sidene er parvis like lange, og vinkelen mellom de to sidene er like store.

3.    Alle tre sidene i trekanten er parvis like lange.

4.    To av sidene er parvis like lange, og motstående vinkel til den lengste av disse to sidene er like store.

6        Vektorer
Vektor En vektor er en størrelse som har både lengde og retning.

Skalar En skalar er en størrelse som ikke har retning. I praksis er en skalar et “vanlig tall”.

Nullvektor Nullvektoren~0 har lengden 0.

Enhetsvektor En enhetsvektor~e har lengden 1.~ex har lengde 1 og er har lik retning med den positive x-aksen. ~ey har lengde 1 og har lik retning med den positive yaksen.

Sum av vektorer Når vi skal finne summen av to vektorer ~u og ~v tegner vi først ~u. Deretter tegner vi ~v med utgangspunkt i endepunktet for ~u. Summen ~u +~v går nå fra utgangspunktet for ~u til endepunktet for ~v. For tre punkter A, B og C er

−AB→+BC−→=−AC→

~
u
~
v
~
u
+
~
v
Produkt av tall og vektor Vektoren t~v er parallell med ~v og er |t| ganger så lang som ~v. Hvis t er et positivt tall, har ~v og t~v samme retning. Hvis t er et negativt tall, har ~v og t~v motsatt retning.

Differanse av vektorer Vi finner differansen ~u−~v ved å summere ~u og −~v.

~u−~v =~u+(−~v)

Vi kan også tegne vektorene ~u og ~v med felles utgangspunkt. Vektoren ~u −~v går da fra endepunktet for ~v til endepunktet for ~u.

Noen regneregler for vektorer
~a+~b =~b+~a

(~a+~b)+~c =~a+(~b+~c)

t ·(~a+~b) = t ·~a+t ·~b

s~a+t~a = (s +t)~a

s ·(t~a) = (s ·t)~a

Vektor på koordinatform En vektor ~u = [x,y] går x enheter i positiv x-retning og y enheter i positiv y-retning.

Regneregler for vektorkoordinater
[x1,y1]+[x2,y2] = [x1 +x2,y1 +y2]

[x1,y1]−[x2,y2] = [x1 −x2,y1 −y2]

t[x,y] = [tx,ty]

Vektoren mellom to punkter Vektoren mellom origo, O(0,0), og punktet P(x,y) har koordinatene

OP−−→= [x,y]

OP−−→ kalles gjerne posisjonsvektoren til P.

Vektoren mellom A(x1,y1) og B(x2,y2) har koordinatene

−AB→= [x2 −x1,y2 −y1]

Lengden av en vektor Lengden av vektoren ~v = [x,y] er

q      

|
                                               ~v|=  x2 +y2

Avstanden mellom to punkter Avstanden mellom punktene (x1,y1) og (x2,y2) er

q      

                                      d =  (x2 −x1)2 +(y2 −y1)2

Parallelle vektorer To vektorer ~u og~v som ikke er nullvektorer, er parallelle hvis og bare hvis det fins et tall t slik at t ·~u =~v. Altså

~u ∥~v ⇔ t ·~u =~v

Punkt på linje Tre punkter A, B og C ligger på linje hvis og bare hvis −AB→ og −AC→ er parallelle.

Dekomponering La ~a og ~b være to vektorer som ikke er parallelle. La ~v være en tredje vektor. Da fins det entydige tall x og y slik at

~v = x~a+y~b

Like vektorer La ~a og~b være to vektorer som ikke er parallelle, og la ~u = x1~a+y1~b og ~v = x2~a+y2~b. Da er ~u =~v hvis og bare hvis x1 = x2 og y1 = y2.

To vektorer er like hvis og bare hvis vektorkoordinatene er parvis like.

Skalarprodukt La u være vinkelen mellom ~a og~b. Da er skalarproduktet av ~a og~b

~a·~b =|~a|·¯¯~b¯¯·cosu

¯ ¯

Skalarproduktet er alltid et tall (en skalar).

Koordinatformelen for skalarprodukt
[x1,y1]·[x2,y2] = x1x2 +y1y2

Vinkelen mellom to vektorer Vinkelen u mellom ~a og~b kan beregnes ved

                                              = −1  ~a·~¯b ¯

                                            u   cos

|~a|·¯¯~b¯¯

Ortogonale vektorer ~a ⊥~b ⇔~a·~b = 0 Regneregler for skalarproduktet
~a·~b =~b·~a

~a·(~b+~c) =~a·~b+~a·~c

(x ·~a)·(y ·~b) = (xy)·~a·~b

(x1~a+y1~b)·(x2~a+y2~b) = x1x2~a2 +x1y2~a·~b+y1x2~a·~b+y1y2~b2

~a2 =|~a|2

7        Derivasjonsregler
Definisjonen av den deriverte
f 0(x) = lim f (x +h)− f (x) h→0     h

Hvis denne grenseverdien eksisterer i punktet x er f deriverbar i x.

Lineær funksjon

(ax +b)0 = a

Potensfunksjon

(xn)0 =n·xn−1

Sum av funksjoner (u(x)+v(x))0 =u0(x)+v0(x) Multiplikasjon med konstant

(k · f (x))0 =k · f 0(x)

Funksjonen x1
                                                µ1 ¶0     1

                                                   x   =−x2

Kvadratrot
                                                (px)0 =  p1

2 x

Logaritmefunksjon
1 (lnx)0 =       x

Eksponentialfunksjon
(ex)0 =ex

(ekx)0 =kekx

(ax)0 = lna·ax

³akx´0 =k ·lna·akx

Produktsetningen

(u·v)0 =u0 ·v +u·v0

Kvotientsetningen
³u´0 u0 ·v −u·v0 v = v2

Kjerneregelen Den deriverte av en sammensatt funksjon er lik den deriverte av den ytre funksjonen multiplisert med den deriverte av kjernen. Altså hvis f (x) = g(u(x)), så er

f 0(x) = g0(u(x))·u0(x)

8        Funksjonsdrøfting
Kontinuerlige funksjoner    En funksjon f er kontinuerlig for x = a dersom f (a) eksisterer og lim f (x) = lim f (x) = f (a).

En funksjon er kontinuerlig i et intervallet [x→a+ x→a− a,b] hvis den er kontinuerlig i alle punkt i intervallet. En polynomfunksjon er kontinuerlig overalt. Rasjonale funksjoner er kontinuerlig i alle punkt, men er ikke definert der nevneren er null.

Vertikal asymptote   En funksjon f har en vertikal asymptote x = a dersom f (x) → ±∞ når x → a.

Horisontal asymptote Linja y = a er en horisontal asymptote for en funksjon f dersom lim f (x) = a eller lim f (x) = a. x→∞ x→−∞

Toppunkt og bunnpunkt Hvis f er kontinuerlig og f 0(x) skifter fortegn i et punkt er dette et topp- eller bunnpunkt for f .

Andregradsfunksjonen ax2 +bx +c har et toppunkt hvis a < 0 og et bunnpunkt hvis a > 0. Dette topp/bunnpunktet finner vi i x =−2ba .

Krumming f 00(x) > 0 i et intervall ⇔ grafen vender den hule siden opp i intervallet. f 00(x) < 0 i et intervall ⇔ grafen til f vender den hule siden ned i intervallet.

Vendepunkt Punktet der f 00(x) skifter fortegn kalles et vendepunkt til f .

L’Hôpitals lov Hvis limg(x) = limh(x) = 0 så er

                             x→a       x→a

Denne setningen er ikke en del

                                                 g(x)         g0(x)

x→a h(x) = x→a h0(x) lim     lim

g0(x) gitt at limx→ah0(x) eksisterer. Setningen gjelder også hvis limx→ag(x) = xlim→ah(x) =±∞.

I praksis vil dette si at hvis en grenseverdi gir “  ” eller “∞” så kan vi derivere telleren og nevneren (hver for seg) og se om vi får en grenseverdi som er lettere å∞ beregne.

av pensum i

R1, men kan i noen tilfeller være praktisk for å beregne

Grenseverdier

9        Vektorfunksjoner
Parameterframstilling for rett linje            En linje ` gjennom punktet P(x0,y0) parallell med vektoren ~v = [a,b] kan skrives ved parameterframstilling

( x =  x0 +at

` :

                                                    y =  y0 +bt

eller som vektorfunksjonen

[x(t),y(t)] = [x0 +at,y0 +at]

Derivasjon av vektorfunksjoner     Vektorfunksjoner kan deriveres koordinatvis, det vil si at hvis~r(t) = [x(t),y(t)] så er

~r0(t) = [x0(t),y0(t)]

Definisjonavdenderivertetilenvektorfunksjon Den deriverte til en vektorfunksjon ~r(t) er gitt ved

~r0(t) = lim~r(t +h)−~r(t) h→0   h

Fartsvektor og akselerasjonsvektor Ofte tolker vi~r(t) som posisjonsvektoren til et punkt etter tiden t. Fartsvektoren er da

~v(t) =~r0(t)

Farten er lengden av fartsvektoren, altså

v(t) =|~v(t)|

Akselerasjonsvektoren er den deriverte av fartsvektoren, altså

~a(t) =~v0(t) =~r00(t)

Akselerasjonen er lengden av akselerasjonsvektoren, altså

a(t) =|~a(t)|